肯德尔Rank相关系数(Kendall rank correlation coefficient)

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肯德尔Rank相关系数(Kendall rank correlation coefficient)， 又叫 Kendall's tau 是数学统计中一个常用的系数，用来描述两个序列的相关系数。 如果两个序列完全一致，则 Kendall's tau 值为1，两个毫不相关的序列的 Kendall's tau 值为0， 而两个互逆的序列的 Kendall's tau 系数为-1。

具体的计算方式为: $1 - 2 \cdot symDif / (n \cdot (n - 1))$, 其中 $n$ 为排列的长度(两个序列的长度相同)，$symDif$为对称距离。

对称距离的计算方式如下:

  1. 对于两个给定的序列 $S1 = \lbrace a, b, c, d \rbrace; S2 = \lbrace a, c, b, d \rbrace $ 分别找出两个序列的二元约束集。
  2. $S1$的所有二元约束集为 $\lbrace (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d) \rbrace$,
  3. $S2$ 的所有二元约束集为 $\lbrace (a,c), (a,b), (a,d), (c,b), (c,d), (b,d) \rbrace $，
  4. 比较两个二元约束集，其中不同的二元约束有两个$(b,c)$和$(c,b)$,所以对称距离为$2$。

代入上面的计算公式可以得到这两个序列的相关系数为: $ 1 - 2 \cdot 2 / (4 \cdot 3) = 2 / 3 = 0.667 $

这是一个很有用的参数，可以用来比较两个序列的相似性，例如可以用于搜索引擎的排序结果的好坏。 比较一个序列与一个类似标准答案的排序序列的相似性（人工评价），得出排序序列的有效性。

计算的代码如下：

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def cal_kendall_tau(list_1 , list_2):
    length = len(list_1)
    if length != len(list_2):
        return -1
    set_1 = set()
    set_2 = set()
    for i in range(length):
        for j in range(i+1,length):
            set_1.add( (list_1[i],list_1[j]) )
            set_2.add( (list_2[i],list_2[j]) )
    count = len(set_1 & set_2)
    return float(count)*2 / ((length-1)*length)

if __name__ == '__main__':
    list_1 = ['a','b','c','d']
    list_2 = ['c','b','a','d']
    list_3 = list_1[:]
    list_3.reverse()
    print('sim of 1&2 : %s' % cal_kendall_tau(list_1,list_2))
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